Решение задач с заморозками

Содержание

Решение задач с заморозками
Задачи на пропорции
Понятие пропорции
Задачи на пропорции с решением и ответами
Задачи на растворы, смеси и сплавы

Решение задач с заморозками

При изготовлении льда в морозильной камере домашнего холодильника потребовалось 8 мин для того, чтобы охладить воду от 4 °С до 0 °С. Удельная теплоёмкость воды c_в = 4200 Дж/(кг · °C), удельная теплоёмкость льда c_л = 2100 Дж/(кг · °C), удельная теплота плавления льда λ = 330 кДж/кг.

1) Какое количество теплоты отдала вода при охлаждении до 0 °С, если её масса 100 г?

2) Сколько времени потребуется для превращения этой воды в лёд, если мощность холодильника не меняется? Ответ выразить в минутах и округлить до целого числа.

3) Для охлаждения лимонада на празднике Пете потребуется 400 г льда. За какое время до прихода гостей он должен поставить в холодильник воду при температуре 4 °С, чтобы она успела замёрзнуть?

Напишите полное решение этой задачи.

1) Количество теплоты, отданное водой при охлаждении до 0 °C, равно Дж.

2) Для того, чтобы данная порция воды замёрзла, она должна отдать холодильнику количество теплоты Так как мощность холодильника не меняется, то

минут.

3) Количество теплоты, которое вода массой M = 400 г должна отдать холодильнику, чтобы охладиться до 0 °С и замёрзнуть, равно

Оно пропорционально массе воды. Так как мощность холодильника постоянна, то

Ответ: 1) 1680 Дж; 2) 157 минут; 3) 660 минут.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Приведено полное решение, включающее следующие элементы: I) записаны положения теории, физические законы, закономерности, формулы и т. п., применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (уравнение теплового баланса, выражения для количеств теплоты при нагревании/охлаждении; выражение для мощности); II) проведены нужные рассуждения, верно осуществлена работа с графиками, схемами, таблицами (при необходимости), сделаны необходимые математические преобразования и расчёты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями; часть промежуточных вычислений может быть проведена «в уме»; задача может решаться как в общем виде, так и путём проведения вычислений непосредственно с заданными в условии численными значениями); Источник Задачи на пропорции О чем эта статья: 5 класс, 7 класс, 8 класс Понятие пропорции Чтобы решать задачи на тему пропорции, вспомним главное определение. Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин. Главное свойство пропорции: Произведение крайних членов равно произведению средних. где a, b, c, d — члены пропорции, a, d — крайние члены, b, c — средние члены.

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Приведено полное решение, включающее следующие элементы:

I) записаны положения теории, физические законы, закономерности, формулы и т. п., применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (уравнение теплового баланса, выражения для количеств теплоты при нагревании/охлаждении; выражение для мощности);

II) проведены нужные рассуждения, верно осуществлена работа с графиками, схемами, таблицами (при необходимости), сделаны необходимые математические преобразования и расчёты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями; часть промежуточных вычислений может быть проведена «в уме»; задача может решаться как в общем виде, так и путём проведения вычислений непосредственно с заданными в условии численными значениями);

Источник

Задачи на пропорции

О чем эта статья:

5 класс, 7 класс, 8 класс

Понятие пропорции

Чтобы решать задачи на тему пропорции, вспомним главное определение.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин.

Главное свойство пропорции:

Произведение крайних членов равно произведению средних.

где a, b, c, d — члены пропорции, a, d — крайние члены, b, c — средние члены.

Вывод из главного свойства пропорции:

Крайний член равен произведению средних, которые разделены на другой крайний. То есть для пропорции a/b = c/d:
Средний член равен произведению крайних, которые разделены на другой средний. То есть для пропорции a/b = c/d:

Решить пропорцию — значит найти неизвестный член. Свойство пропорции — главный помощник в решении.

Рассмотрим легкие и сложные задачи, которые можно решить с помощью пропорции. 5, 6, 7, 8 класс — неважно, всем школьникам полезно проанализировать занимательные задачки.

Задачи на пропорции с решением и ответами

Свойства пропорции придумали не просто так! С их помощью можно найти любой из членов пропорции, если он неизвестен. Решим 10 задач на пропорцию.

Задание 1. Найти неизвестный член пропорции: x/2 = 3/1

В этом примере неизвестны крайние члены, поэтому умножим средние члены и разделим полученный результат на известный крайний член:

Задание 2. Найти неизвестный член: 1/3 = 5/y

Задача 3. Решить пропорцию: 30/x = 5/8

Задание 4. Решить: 7/5 = y/10

Задание 5. Известно, что 21x = 14y. Найти отношение x — к y

Теперь разделим обе части на 3y, чтобы в левой части убрать множитель 3, а в правой части избавиться от y: 3x/3y = 2y/3y.

После сокращения отношений получилось: x/y = 2/3.

На следующем примере мы узнаем как составить пропорцию по задаче💡

Задание 6. Из 300 подписчиков в инстаграм 108 человек — поставили лайк под постом. Какой процент всех подписчиков составляют те, кому понравился пост и они поставили лайк?

Составим пропорцию: 300/108 = 100/x.

Найдем х: (108 * 100) : 300 = 36.

Ответ: 36% всех подписчиков поставили лайк под постом.

Задание 7. Подруга Гарри Поттера при варке оборотного зелья использовала водоросли и пиявки в отношении 5 к 2. Сколько нужно водорослей, если есть только 450 грамм пиявок?

Составим пропорцию: 5/2 = x/450.
Найдем х: (5 * 450) : 2 = 1125.

Ответ: на 450 грамм пиявок нужно взять 1125 гр водорослей.

Задание 8. Известно, что арбуз состоит на 98% из воды. Сколько воды в 5 кг арбуза?

Вес арбуза (5 кг) составляет 100%. Вода — 98% или х кг.

Ответ: в 5 кг арбуза содержится 4,9 кг воды.

Перейдем к примерам посложнее. Рассмотрим задачу на пропорции из учебника по алгебре за 8 класс.

Задание 9. Папин автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.

Подставим известные значения: 75/52 = t2/13

t2 = (75 * 13)/52 = 75/4 = 18 3/4 = 18 ч 45 мин

Ответ: 18 часов 45 минут.

Задание 10. 24 человека за 5 дней раскрутили канал в телеграм. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

2. Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.

3. Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:

Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член:

Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.

Источник

Задачи на растворы, смеси и сплавы

\(\blacktriangleright\) Концентрация вещества в растворе (сплаве) – это процент содержания этого вещества в растворе (сплаве): \[\text<концентрация вещества>=\dfrac<\text<масса вещества>><\text<масса раствора>>\cdot 100\%\]

\(\blacktriangleright\) Заметим, что в задачах из данной подтемы зачастую удобно составлять уравнения относительно кислоты или активного вещества.

Сергей смешал раствор, содержащий \(20\%\) кислоты и раствор, содержащий \(40\%\) той же кислоты. В итоге у него получился раствор, содержащий \(32,5\%\) кислоты, причём объём полученного раствора \(4\) литра. Сколько литров раствора, содержащего \(20\%\) кислоты, использовал Сергей при смешивании?

Пусть \(x\) литров раствора, содержащего \(20\%\) кислоты использовал Сергей при смешивании, тогда

\(4 — x\) литров раствора, содержащего \(40\%\) кислоты использовал Сергей при смешивании,

\(\dfrac<20><100>x\) – объём кислоты в растворе, содержащем \(20\%\) кислоты, \(\dfrac<40><100>(4 — x)\) – объём кислоты в растворе, содержащем \(40\%\) кислоты.

Так как в итоге кислоты оказалось \(\dfrac<32,5> <100>\cdot 4 = 1,3\) литра, то:

\[\dfrac<20><100>x + \dfrac<40><100>(4 — x) = 1,3,\] откуда находим \(x = 1,5\) .

Один газ в сосуде А содержал \(21\%\) кислорода, второй газ в сосуде В содержал \(5\%\) кислорода. Масса первого газа в сосуде А была больше массы второго газа в сосуде В на 300 г. Перегородку между сосудами убрали так, что газы перемешались и получившийся третий газ теперь содержит \(14,6\%\) кислорода. Найдите массу третьего газа. Ответ дайте в граммах.

Пусть \(x\) грамм – масса второго газа, тогда

\(x + 300\) грамм – масса первого газа,

\(\dfrac<21><100>(x + 300)\) грамм – масса кислорода в первом газе,

\(\dfrac<5><100>x\) грамм – масса кислорода во втором газе,

тогда масса кислорода в третьем газе составляет \(\dfrac<14,6><100>(2x + 300)\) грамм.

Так как третий газ возник в результате смешивания первого и второго, то:

\[\dfrac<21><100>(x + 300) + \dfrac<5><100>x = \dfrac<14,6><100>(2x + 300),\] откуда находим \(x = 600\) . Таким образом, масса третьего газа равна \(600 + 600 + 300 = 1500\) грамм.

Иван случайно смешал молоко жирностью \(2,5\%\) и молоко жирностью \(6\%\) . В итоге у него получилось 5 литров молока жирностью \(4,6\%\) . Сколько литров молока жирностью \(2,5\%\) было у Ивана до смешивания?

Пусть \(x\) литров молока жирностью \(2,5\%\) было у Ивана, тогда

\(5 — x\) литров молока жирностью \(6\%\) было у Ивана,

\(\dfrac<2,5><100>x\) – объём жира в молоке жирностью \(2,5\%\) , \(\dfrac<6><100>(5 — x)\) – объём жира в молоке жирностью \(6\%\) .

Так как в итоге жира оказалось \(\dfrac<4,6> <100>\cdot 5 = 0,23\) литра, то:

\(\dfrac<2,5><100>x + \dfrac<6><100>(5 — x) = 0,23\) , откуда находим \(x = 2\) .

В сосуде А содержится 3 литра 17-процентного водного раствора вещества Х. Из сосуда В в сосуд А перелили 7 литров 19-процентного водного раствора вещества Х. Сколько процентов составляет концентрация полученного в сосуде А раствора?

Концентрация в процентах – это отношение объёма вещества к объёму смеси, умноженное на 100 \(\%\) . До переливания в сосуде А было \(3 \cdot 0,17 = 0,51\) литра вещества Х, в сосуде В было \(7 \cdot 0,19 = 1,33\) литра вещества Х.

После переливания объём вещества Х в сосуде А стал \(0,51 + 1,33 = 1,84\) литра, а объём всего раствора \(3 + 7 = 10\) литров. Тогда концентрация в процентах составила \[\dfrac<1,84> <10>\cdot 100\% = 18,4\%.\]

Во сколько раз больше должен быть объём \(5\) -процентного раствора кислоты, чем объём \(10\) -процентного раствора той же кислоты, чтобы при смешивании получить \(7\) -процентный раствор?

Пусть объём \(5\) -процентного раствора кислоты равен \(x\) литров, а объём \(10\) -процентного раствора равен \(y\) литров, тогда требуется найти значение величины \(\dfrac\) при условии \[0,05x + 0,1y = 0,07(x + y) \qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac = \dfrac<3> <2>= 1,5\,,\] таким образом, ответ: \(1,5\) .

Во сколько раз больше должен быть объём \(20\) -процентного раствора кислоты, чем объём \(14\) -процентного раствора той же кислоты, чтобы при смешивании получить \(18\) -процентный раствор?

Пусть объём \(20\) -процентного раствора кислоты равен \(x\) литров, а объём \(14\) -процентного раствора равен \(y\) литров, тогда требуется найти значение величины \(\dfrac\) при условии \[0,2x + 0,14y = 0,18(x + y) \qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac = 2\,,\] таким образом, ответ: \(2\) .

Смешав \(25\) -процентный и \(95\) -процентный растворы кислоты и добавив \(20\) кг чистой воды, получили \(40\) -процентный раствор кислоты. Если бы вместо \(20\) кг воды добавили \(20\) кг \(30\) -процентного раствора той же кислоты, то получили бы \(50\) -процентный раствор кислоты. Сколько килограммов \(25\) -процентного раствора использовали для получения смеси?

Заметим, что вода – это раствор, не содержащий кислоту, то есть содержащий \(0\%\) кислоты.
Пусть \(x\) кг – масса раствора с \(25\) -процентным содержанием кислоты, \(y\) кг – масса раствора с \(95\) -процентным содержанием кислоты. Составим схему, описывающую получение \(40\) -процентного раствора:

Заметим, что количество кислоты во всех трех растворах равно количеству кислоты в получившемся растворе. Найдем количество кислоты в первом растворе.
Если раствор весит \(x\) кг, а в нем \(25\%\) кислоты, то в килограммах в нем \(\dfrac<25><100>\cdot x\) кислоты.

Таким же образом можно посчитать количество кислоты в остальных растворах. Получим первое уравнение:

Аналогично составим схему, описывающую получение \(50\) -процентного раствора:

Значит, уравнение, описывающее эту ситуацию, будет выглядеть так:

Таким образом, решив систему из полученных двух уравнений, найдем \(x\) . Для этого можно умножить оба уравнения на \(100\) , чтобы сделать их проще на вид:

\[\begin 25x+95y+0=40(x+y+20)\\ 25x+95y+30\cdot 20=50(x+y+20) \end\]

Вычтем из второго уравнения первое и получим новую систему:

\[\begin &\begin 25x+95y=40(x+y+20)\\ 30\cdot 20=10(x+y+20) \end \quad \Rightarrow \quad \begin 5x+19y=8(x+y+20)\\ y=40-x \end \quad \Rightarrow \\[2ex] \Rightarrow \quad &\begin 3x-11(40-x)+160=0\\ y=40-x \end \quad \Rightarrow \quad \begin x=20\\y=20\end \end\]

Таким образом, раствора с \(25\%\) кислоты было \(20\) кг.

Источник